「予算が逼迫している家庭 」 を英語に訳すと？

1.families on a tight budget
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こちらは自然な表現で、英字新聞・学術書・政府文書などあらいろいろなところでよく見ます。

2. budget-strained household
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あまり見ない表現で、少し不自然です。
ただし「英語記事原文」で使われていたとすると、
筆者が「深刻な圧迫」を強めたくて、意図的に不自然な複合語を作ったかもしれません。（あえて読者が一瞬「？」となるように）
あるいは、記事の見出しなどの都合上、ヘッドラインの表現として使ったかもです（日本語でもヘッドラインは体言止めなどが多かったりして、少し不自然な日本語であるのと同じ）
などが考えられます