『シャーロック』のセリフについて

① Easy, Henry. Easy.
>ジョンの Easy は be easy の命令文の意味ですか？
→
そうですね。
ここでの easy は形容詞ではなく、副詞的な命令文で、「落ち着け」「気を静めろ」の意味です。
文法的には、Be easy の Be が省略されている形と考えられます。


② Just relax.Just put the gun down.
>オーレックス英和辞典に、just は「ちょっと、まあ；ともかく」という意味で表現を和らげたり強めたりするとありました。Just relax や Just put the gun down では「ともかく」と命令を強めているのでしょうか
→
ここでの just は副詞で、「単に」「ともかく」「いいから」のように、口調を柔らかくしたり強めたりするどちらにもとれる使い方です。
文脈を踏まえると、おっしゃる通り、
・Just relax. → 「落ち着いて。」「いいからリラックスして。」
・Just put the gun down. → 「（いいから）銃を下ろせ。」
みたいな感じです。
この just は「強い命令を柔らかく聞こえさせる」効果もありますが、
実際には「焦りや緊張の中で相手をなだめる」ような場面では、逆に命令を強める語感にもるので、
辞書の説明どおり「表現を和らげたり強めたりする」両義性を持ち、この場面では「強め」に働いています。


③ It's okay.
>It's okay の It は漠然と状況を指しているのですか？
→
はい、ここでの it は、特定の名詞を指すのではなく「状況・出来事」全体を指す 非指示的 it です。
It’s okay. = 「大丈夫だよ」「もう大丈夫」「問題ない」となり、


④ It’s all been explained to you, hasn’t it?
>It's all been explained to you, hasn't it の it は ヘンリーの what I am を指して What you are の意味ですか？また、 all の役割は it と同格ですか？
→
ここでの it は、直前のヘンリーのセリフ 「I know what I am.」 を受けています。
なので、意味としては what you are（＝あなたが何者か） を指しています。

そして all は 「everything」 の意味で、it を修飾して「それに関するすべてが」「全部」という量的な強調をしています。
つまり同格ではなく、修飾語（副詞的）に近い all です。


⑤ Needed to keep you as a child to reassert the dream that you'd both clung on to because you had started to remember.
>文構造と意味を教えてください。
→
長くて複雑な文ですが、分解して見ましょう。
主語が省略されているので、実際はこうなります：
　(Someone) needed to keep you as a child (in order) to reassert the dream (that you'd both clung on to) (because you had started to remember).

・Someone needed to keep you as a child
　＝誰かが、あなたを「子どものまま」にしておく必要があった
　（＝精神的に成長させず、昔の記憶・恐怖の世界に留めておく）
・to reassert the dream
　＝その夢を再確認／再強化するために（目的の不定詞）
・that you’d both clung on to
　＝あなたたち2人がしがみついていた夢（関係代名詞節）
・because you had started to remember
　＝あなたが思い出し始めたから（理由節）

全体の意味としては、
・「誰かが、あなたを子どものままに留めておく必要があった。
・あなたたち二人がしがみついていた「夢」を再び確かめるために。
・というのも、あなたが（真実を）思い出し始めていたからだ。」
となります。

そして、この 「dream」 は、ヘンリーと父が信じていた「怪物（the Hound）」の幻想のことを指します。
つまり、「ヘンリーが真実を思い出し始めたので、彼を再び「夢（幻）」の中に閉じ込めて黙らせる必要があった」という意味です。