I had a nightmare last night about moving here の意味は？

直訳すれば、「昨夜、ここに引っ越してくることについての悪い夢を見た」という意味です。

この文の moving here は「ここに引っ越してくること」を表していて、これから起こる予定や考えていることを指します。
そのため、この文は「すでに引っ越した」というよりも、これから引っ越すことに対する不安やストレスが夢に出ていると考えるのが自然です。

また、here（ここ） は話し手が今いる場所を指すので、話している時点ではその人はすでに「ここ」にいます。ただし、それは「引っ越して住み始めている」とは限らず、下見や一時的な滞在の可能性もあります。