She fought for what she believed was righteous.

この文では、fight for の目的語は what she believed was righteous 全体です。

what は「〜するもの」という意味を作る語で、the thing that と同じような働きをします。したがって、what she believed was righteous は「彼女が正しいと信じていたもの」という意味になります。

構造としては、もともと she believed it was righteous（彼女はそれが正しいと信じていた）という文があります。その it にあたる部分が what になり、文全体を名詞のかたまりにしています。そのため、was righteous は余っているのではなく、believed の中の文の動詞です。

つまり、what she believed で切れるのではなく、what she believed was righteous までが一つのまとまりで、それが fight for の目的語になっています。