justの意味を教えてください

この文の just は、実質的な意味を強く持たず、「話し手の態度をやわらげる」ために使われている副詞です。
つまり、すでに書かれている通り、「～すべきだ」を少し柔らかくする「ちょっと」「まあ」「とりあえず」くらいのニュアンスを出しています。

なので、直訳的すると
「たぶん、単に大きな犬を飼っている人を探すべきだな」ですが、
自然な日本語にすると、
「まあ、大きな犬を飼ってる人を探してみればいいんじゃない？」
「とりあえず大きな犬を飼ってる人を探してみようか。」
みたいな感じになると思います。

※
このような 「提案文」や「should / let’s / try などの助動詞・命令・依頼表現」 の中の just は、
「単に」「とりあえず」「軽く〜してみよう」くらいのニュアンスを出します。

例えば、以下などがあります。
・just（数量・時間） ちょうど・たった今
　→just now, just one minute
・just（強調） まさに・本当に
　→That’s just what I wanted.
・just（提案をやわらげる） 単に・とりあえず・軽く
　→Maybe we should just look for...