回答
「頑張れ！応援しているよ！」を試験を控えた友人に言うような場合は
I wish you the best.
I hope you'll easily pass.
あたりが自然です。
友人選手のスポーツ試合を観戦する場合は
I'll cheer for you!
応援しているよ！
ということができます。
その他、通常のシチュエーションで「頑張ってね！」という場合は
Do your best!
Just do it!
You'll do it!
Give it your all!
が一般的です。Good luck! は上記よりももっと軽い意味の「頑張ってね」に相当します。
また
Go for it!
やってみなよ！
や、演劇、舞台、スピーチ（つまりperformance）などの前には
Break a leg!
頑張ってね！
というイディオムがあります。なぜlegなのかは知りません。
1. to cheer for someone
（応援する）
声援を送る、励ます、といった意味があります。
声を上げて応援するニュアンスです。
「応援してるよ」という意味で使うときは、進行形で使います。
いくつか例文を紹介します。
＜例＞
I’ cheering for you.
(応援している）
Everyone will be cheering for you.
（みんな応援しているよ）
We will be waiting and cheering for your return.
（応援しつつ帰りを待っているね）
We will go cheering for you.
（応援しにいくね）
Come and cheer for me.
（応援しに来てね）
2. Do your best!
（頑張って！）
「応援する」ではありませんが、相手のことを応援していることを伝えることができる表現です。
「自分のベストを尽くして」「ファイト！」というようなニュアンスです。
3. Good luck!/Best of luck!
（幸運を）
「健闘を」「幸運を祈ってる」という意味の表現です。
「うまくいくことを祈ってるよ」というようなニュアンスです。
これも相手を励ましたり応援したりする表現です。
4. You will be fine.
You will do great.
(君なら大丈夫）
不安になっている人を励ますときに使う表現です。
「あなたなら大丈夫」「あなたならうまくやるよ」というニュアンスです。
5. Just do you.
（あなたはあなたらしく）
くだけた表現ですが、「いつも通りなたらしくいきなさい」という励ますの表現です。4番と一緒に使うといいでしょう。
6. Don’t push yourself too hard.
（無理しないでね）
相手に無理しすぎないように頑張ってね、と言いたいときに使える表現です。
2番と組み合わせて、
“Do your best! But don’t push yourself too hard.”
「ベストを尽くして！でも無理はしないでね」
といった使い方ができます。
・to support~
（応援する）
支持する、支える、援助する、応援しています、といった意味です。
誰かの支えになるときに使います。
もしも強調したければ、「強く」「熱心に」という意味の「strongly」や「ardently」、他にも「全力で」「心のすべてをこめて」という意味の「with all my heart」をつけてもいいでしょう。
＜例＞
I know you will do great on the test. I’m supporting you with all my heart!
（試験は絶対にうまくいくよ。全力で応援してるよ！）
・Good luck!
（幸運を！）
これも応援していることを伝えることができる、健闘を祈るようなニュアンスの表現です。
ちなみに、丁寧にしたければ、「I wish you the best of luck」と言います。
＜例＞
I wish you the best of luck on the next job.
（次の仕事でのご健闘をお祈り申し上げます）
・to support~
（～を応援する）
「～を支える」「～を支持する」「～を支援する」という意味があります。
声だえで応援するというよりは、相手のために何かしらの行動を起こして応援するときに使う表現します。
例えば、勉強に付き合って受験生を応援したり、相談に乗って誰かの夢を応援したりです。
アイドルを贔屓して応援するとききや、スポーツチームを支持して応援するようなときにも使います。
ちなみに、「～を援助する」という意味もあります。
（例）
Do your best! I’m supporting through the end.
（頑張って！最後まで応援してるよ）
I support Seattle Mariners.
（私はシアトル・マリナーズを応援している）
・to root for~
（応援する）
どちらかというと、エールを送ったり、声かけをしたり、カジュアルな感じで応援する表現です。
チームを応援したり、誰かを励ますときに使います。
（例）
Give all you’ve got! I’m rooting for you!
（すべてをぶつけろ！応援しているよ！）
■「応援する」は英語で下記のように言えます。
(1) root for
・root for には、「応援する、励ます、鼻で地面を掘る」といった意味があります。
例文：
I have an English exam tomorrow.
「私は明日英語のテストを受けます。」
Good luck. I'm rooting for you.
「頑張れ。あなたのことを応援してるよ」
・good luck は、「幸運を祈っています、成功を祈ります」という意味のほかに、
「頑張って、頑張れ」という意味もあります。
英語で「頑張って」は、下記のような表現もあります。
Hang in there.
「頑張れ」
Keep it up.
「頑張れ」「その調子で」
(2) support
support は、「援助、後援、賛成、鼓舞」といった意味です。
・You have my support.
「応援しています」
目下の人を支援・応援するといった意味あいで使われる表現です。
・You have my full support.
「全面的に支援しますよ」
ご参考になれば幸いです。
英語には日本語の「がんばれ」にピッタリ当てはまる表現はないと言われますね。
大事な試験に挑むご友人に向けてとのことでしたら、次のように言えばよいと思います。
(1) Good luck!
すでにご存知と思いますが、もっともシンプルで一般的な表現がGood luck!です。
「幸運を祈っていますよ」という声かけに使われます。
文の形で
I wish you good luck!
とも言います。
(2) I'll keep my fingers crossed (for you).
（成功を祈っていますよ；がんばってね）
直訳は「私の指を交差します」で、何のことだかわかりませんね。
人差し指に中指をひっかけるように交差させます。
これが相手への幸運を祈る印になります。
このフレーズを言いながら、指を交差するのが英語圏の慣習のひとつです。
(3) I'm cheering for you!
（応援していますよ！）
動詞cheerは「元気づける、応援する」という意味です。
チアリーダーなどでなじみのある言葉ですから、使いやすいと思います。
(4) I'm rooting for you!
例(3)と同じ意味です。
root for someoneで「～を応援する」という意味になります。
(5) support
supportは「支持」で、動詞と名詞で使えます。
I always support you. / I'm always supporting you.
（いつも支持していますよ⇒応援していますよ）
You have my full support.
（全面的に支持していますよ⇒応援していますよ）
試験を受ける直前の友人に対してなら、私は(1)と(2)が好みの表現です。
参考にしていただければ幸いです。
★cheer
（応援する）
「cheer」は「励ます」「元気付ける」「声援を送る」という意味の表現です。
「応援する」という意味で使うときは、心の中や実際に声を上げて応援をするイメージです。
【例】
Good luck! I will be cheering for you!
（ご武運を！応援しているからね！）
★support
（支える）
「support｣は「精神的に支える」「元気付ける」という意味の表現です。
動詞や名詞、どちらでも使います。
【例】
Don’t forget that you have our full support.
（私たちが心から応援していることを忘れないでね）
★have/get your back
（私が味方についているよ）
「応援する」ではないですが、「いつでも私がついているよ、味方だよ」という支えの意思を伝えることができる表現です。
【例】
Do your best! I’ve got your back!
（全部出して来て！私がついてるから！）