回答
Seeing her again, he was happy.
の主文は「He was happy.」なので、理由はどうであれ He was happy.だった、ということが言いたい文で、seeing her again は省略してもよい部分という感じの付け足しです。
Seeing her again made him happy.はこれ自体が主文で
Seeing her again のおかげで he が happy になった。
と言っています。
Seeing her again が副詞句か名詞句かということ自体で変わりはありませんが、この名詞句が主語となっているのに対して副詞句はただの付け足し（省略しても主文が残る）というところが大きな違いです。
Seeing her again, he was happy.は分詞構文なので、しゃべり言葉では使われず、書き言葉です。
Seeing her again made him happy.は、ちょっと書き言葉っぽいです。話し言葉でも使われるかもしれませんが、ちょっとかしこまった感じがします。
これがカジュアルな話し言葉なら、
He became happy because he saw her again. とか
He saw her again, and he becam happy.
とか平坦な表現を使うでしょう。
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Seeing her again, he was happy.
Seeing her again made him happy.
上記２つの文章のニュアンスはどのように違いますでしょうか。
彼女を見て彼が幸せになったのは分かります。
「Seeing her again」が副詞句になるのと、名詞句になるのとで、伝わり方になにか変わりはありますでしょうか。
また、使う場面（口語/文語、フォーマル/カジュアルなど）にも何か違いはありますか？