こちらこそありがとうございました。は英語でどう言うの？

一番簡単な表現は

A: Thank you!.
B: Same here.（こちらも同様の思いです）

でしょうか。

Same hereはThanks here too.に言い換えることも可能です。

もうすこし改まって言うと、

I want to say thanks too.
I also want to say thank you.

とも言うことができます。

(1) Thank YOU!

(2) It's my pleasure.

(3) You're welcome.

訳例(1)
お礼のThank youは、thankが強めに発音されますよね。
それに対して、youを強くThank YOUと言えば、「こちらこそありがとう」になります。

訳例(2)
直訳すると「それは私の喜びです」です。
「私の方こそ嬉しいですよ」という感じになりますね。
「こちらこそ」に近いと思います。

訳例(3)
英語では"Thank you."に対して"You're welcome."とある意味機械的に言う傾向があります。
イギリス人は"That's OK."をよく使っていると思います。
「どういたしまして」と訳されますが、あまり訳にこだわらずに使って良いと思いますよ。

参考になれば幸いです。

・Thank you, too！（こちらこそありがとう）
tooを付け加えるだけなのでとても使いやすいと思います。
・Thank you.（こちらこそ）
この場合「you」を強調し抑揚をつけるように言うことで相手のthank youに対する返しのthank youとなります。
・No, thank you！（いえいえ、こちらこそ）
これも上記同様、なるべくyouを強調するように言うことが大事です。抑揚なしに言ってしまうと「結構です」のNo, thank youに聞こえてしまいます。