回答
日本語の「むしろ」はratherにおおむねあたります。
まず「～よりむしろ～のほうがいい」、つまりpreferという意味であれば、would ratherが使えます。
I would rather stay home today (than going out).
今日は（出かけるよりむしろ）家にいたい。
文頭にRather than thatを置いて
Rather than that, I'd like to stay home today.
むしろそれよりも、今日は家にいたい。
と言うこともできます。
これとは別にOr ratherというフレーズがあります。これは日本語では「むしろ」と訳されることが多いですが、「むしろ」とはちょっと違っていてCorrectly/Specifically speaking（もっと正確に/細かく言うと）というニュアンスで使われます。
Or rather, that would bring more disadvantages.
むしろ（厳密に言うならば）そのほうが多くのデメリットがある。
また「よく考えてみるとむしろ～かもしれない」というニュアンスだと英語表現が違ってきます。
Perhaps, it is a better idea.
むしろその方がいいかもしれないぞ。
「むしろ」の英語は、言いたい内容に応じて次の表現を使い分ければよいでしょう。
(1) or rather
(2) if anything
(3) A rather than B
(4) not so much B as A
(5) would rather A than B
訳例(1)
何か言った後で、「というよりは」と挟み込む時にor ratherが使われます。
口語で「っていうか」と言うことがありますが、それに近いですね。
Mary is my best friend. Or rather, she is my best rival.
（メアリーは親友。というより、一番のライバルだなあ）
訳例(2)
質問者様のコメントにある「どちらかといえば」はif anythingというフレーズで表します。
変な感じがしますが、このまま覚えて使いましょう。
If anything, I'm a little tired.
（どちらかと言えば、少し疲れています）
訳例(3), (4)
学校英語でおなじみの「BというよりはむしろA」です。
「ジョンは歌手というよりはアーティストだな」
John is an artist rather than a singer.
John is not so much a singer as an artist.
訳例(5)
動作・行動について「AするよりはむしろBしたい」という場合はこの言い方になります。
I would rather read a book at home than go out today.
（今日は外出するよりは、家で読書したい）
以上、参考になさって下さい。
「むしろ」は英語で下記のように言えます。
「むしろ、どちらかと言えば」は 「if anything」 や 「would rather」 を使って表現できます。
会話例：
A: Which would you like, A or B?
「AとBのどちらがいいですか？」
B: If anything, I would prefer A to B.
「どちらかと言えば、BよりむしろAのほうがいいです。」
・if anything「むしろ、どちらかと言えば」
・prefer A to B は、「BよりむしろAを好む」の意味です。
If anything, I prefer going out to staying at home.
「どちらかと言えば、家にいるより出かけたい」
・prefer ---ing to ***ing: 「***するより、---したい」
I would rather go out than stay at home.
「家にいるよりむしろ出かけたい」
・would rather A than B は、「BするよりむしろAしたい」という意味です。
・I would rather die than surrender.
「降伏するよりむしろ死んだほうがましだ」
ご参考になれば幸いです。