丁寧な「警察に届けて下さい」 を英語に訳すと？

hand something in/over to the police という言い方は、
何らかの責務が伴ってそれを警察に移譲するというようなニュアンスになりますので、落とし物について使うとかなり大げさな感じになります。

シンプルに
If found, please bring this phone to the nearest police station.
などでよいのではないかと思います。

ただし、国や地域によりますが、遺失物などを警察に届ける習慣が一般的ではないところもありますので、そのメッセージを見た時に「なぜ警察に？」と仰々しく思う人もいるかもしれません。