回答
子供同士が「仲良くしよう！」という場合には
Let's be friends.
と言います。高校生あたりまで使えますが、大人では言いません。
仕事でどこか外国に赴任し、「どうぞよろしく（仲良くしてください）」と言うようなシチュエーションでは、
I'm Daisuke from Japan. I'm very excited to be able to work with you. I hope we can get to know each other better.
私は日本から来たダイスケです。いっしょに働けてとてもわくわくしています。互いによりよく理解し合うことができればと思います。
のように言うのが普通かと思います。
自己紹介のときに、「仲良くしてください」とはあまりいいません。
似たニュアンスの、「良い友達になれるといいな」や「良い関係を築けたら嬉しいです」という希望や展望の意味がある表現を紹介します。
●I hope we can be (good) friends.
（良い友達になれるといいな）
「仲良くしてね」「仲良くしてください」というニュアンスの表現です。
「友達」という意味の「friends」を使っているので、目上のひとではなく、親しくなるであろう相手に使います。
【例】
My name is Travis. I will be joining your class from this semester. I hope we can be good friends.
（トラヴィスと言います。今学期からこのクラスの一員になります。仲良くしてください）
●I hope that I can be part of your team/family.
（みなさんのチーム／家族の一員になれたら幸いです）
会社やサークル、部活などの自己紹介で使えるでしょう。
「仲良くしていだけますと幸いです」というニュアンスです。
ここの「family」は血が繋がった「家族」ではなく、「家族のような暖かい集団」というような意味合いです。
家族のように仲が良く、家族のように大事にお互いを大事に扱うような会社や団体に対して使うときがあります。
【例】
Thank you for welcoming me to the company. I hope that I can be part of your wonderful team.
（この会社に迎え入れてくださりありがとうございます。みなさんの素晴らしいチームの一員になれれば幸いです）
相手が誰かによって、どこまで丁寧にするのか、へり下るのか変わってきます。丁寧さの違う表現をそれぞれ紹介します。
1. I hope to get along with all of you.
（みなさんと仲良くできますと嬉しいです）
自分が相手と仲良くしたい、仲良くしてもらいたいという願望や希望を伝えるような表現です。
＜例＞
Thank you for your warm welcome. I hope to get along with all of you.
（暖かく迎えてくださってありがとうございます。みなさんと仲良くできますと嬉しいです）
1. Please treat me well.
（仲良くしてください）
「よくしてやってください」「よろしくお願いします」と相手にお願いするような表現です。
「お手柔らかに」というニュアンスが少しあります。
＜例＞
I’m very nervous but I will do my best. Please treat me well.
（とても緊張していますが、ベストを尽くします。よろしくお願いいたします）
1. Let's get along.
（仲良くやっていきましょう）
とてもフランクでカジュアルな表現です。
カジュアルなシーンや、対等な立場の人に対して使えます。
＜例＞
I’m looking forward to be part of this team. Let’s get along!
（このチームの一員になれるのを楽しみにしています。仲良くやっていきましょう）
・I hope we can get along.
（仲良くなれると嬉しいです）
仲良くなれるといいな、良い関係になれると幸いです、という希望を伝えるような表現です。
“to get along”は「人とうまくやる」「仲良くする」という意味があります。
＜例＞
Thank you for welcoming to the team. I hope we can get along.
（チームに迎えてくださってありがとうございます。仲良くなれると幸いです）
・I would love to be your friend.
（ぜひとも友達になりたいです）
・I would love to be part of this team.
（ぜひともこのチームの一員になりたいです）
「私はあなたと仲良くなりたい」という強い気持ちを伝えることができる表現です。
一つ目は「友達」という言葉を使っているので、学校やカジュアルなシーンで使えます。
二つ目は「チーム」という言葉を使っているので、ビジネスシーンなどで使えます。
＜例＞
I heard that we share a common interest in history. I would love to be your friend.
（歴史という同じ興味を持っていると聞きました。ぜひとも友達になりたいです）
・Please tell me all about you.
（あなたのことをすべて教えてください）
仲良くするために、あなたのことを詳しく教えてください、と積極的な気持ちを伝えることができます。
＜例＞
Please tell me all about you. I would like to be your good friend.
（あなたのことを全部教えてください。良い友達になりたいです）
「仲良くしてください」と自己紹介で使う時、おそらく様々な意図や意味をこめることがあると思います。
今回はそれに合わせて様々な表現を紹介します。
・I hope we can be good friends.
（良い友達になれると嬉しいです）
自己紹介している相手と今後友達になりたい、という意味で「仲良くしてください」と言いたいときに使える表現です。
ただ、「友達になりたい」という意味なので、会社やビジネスシーンでは使いません。学校やコミュニティイベントなどで使えるでしょう。
・I hope we can be a good team.
（良いチームになれると嬉しいです）
相手と一緒に力を合わせて、一つのチームとして、仲間としてやっていきたい、という意図を伝えたいときに使える表現です。
ビジネースシーンやスポーツチームなどで使えるでしょう。
・I hope we can get to know each other.
（お互いのことを知っていけたら幸いです）
自己紹介している相手のことをもっと知りたい、お互いのことを知っていきたい、という意味で「仲良くしてください」と言いたいときに使える表現です。
・Please ask me anything you want to know about me.
（私のことでしたらなんでも聞いてください）
積極的に自分のことを聞いてください、声をかけてください、という意味のときに使える表現です。
・Please treat me well.
（よくしてください）
邪険にしないでください、よろしくお願いします、という意味で使える表現です。
「to treat」は「扱う」「待遇する」という意味があります。
・I might cause you trouble and I apologize in advance.
（ご迷惑をおかけすると思いますので、先に謝っておきます）
新しい環境で、至らないことがあって迷惑をかけてしまうかもしれないけれど、許してください、という意味合いで使える表現です。
あまり使いませんが、謙虚さを表現することができます。
■英語で自己紹介する際に、「仲良くしてください」と言う場合、
下記のような表現が使えます。
（１）Nice to meet you. I hope that we can get to know each other better.
「はじめまして。仲良くしてくださいね。」
・ポイントは、get to know 「知る」という表現を使う点です。
know だけで使うと「知っている」という状態を表しますが、
get to know で「知る、知り合う、懇意になる」という動作を表します。
・直訳は、「はじめまして。私たちがお互いもっと懇意になれることを望みます。」
となり仲良くなりたいというニュアンスが出せます。
（２）I hope we can get along well.
「仲良くしてください」
・get along 「仲良くする」という意味で、直訳すると、
「私たちが仲良くやっていけることを望みます。」となります。
（３）I hope we can be good friends.
「仲良くしてください」
・直訳は、「私たちが友達になれることを望みます。」となります。
ストレートな表現ですので、使うシチュエーションには配慮して、
親しい友達になりたい人がいる場合、この表現を使うとよいでしょう。
ご参考になれば幸いです。
自己紹介の時に言いたいとのことですね。
次のような表現が可能です。
(1) I hope we'll be good friends.
（仲良くなれるといいな）
このような表現では自分と相手で2人ですので、friendsと複数形になります。
(2) I hope I can get to know you better.
（あなたのことをもっとよく知れたらいいな）
これも良い友人になりたいという気持ちを表す言い方です。
(3) I want to know more about you.
（あなたのことをもっとよく知りたいです）
例(2)と意味的には同じです。
(4) get along (well)
「人とうまくやっていく」という意味のフレーズです。
この表現もよく使われます。
I hope to get along well with you.
（あなたと仲良くやっていきたいです）
あるいは主語をweにして
I hope that we can get along (well).
（私たち、仲良くやっていけるといいな）
(5) I want to be friends with you.
（お友だちになりたいです）
(6) Will you become friends with me?
（お友だちになってくれますか？）
参考にしていただければ幸いです。
自然と人との仲は良くなっていくものなので、「仲良くしてください」と自己紹介でお願いするシーンはほとんどないです。
なので、自己紹介のときに似たようなニュアンスで「よろしく」と言えるフレーズを紹介します。
★I hope we get along.
（仲良くできると嬉しいです）
あまり自己紹介では使いませんが、「どうしても仲良くなりたい」という強い意志があったり、仲良くできるかどうか不安であるときは使える表現です。
【例】
Hi, I’m new here. I’m quite nervous with the new environment. I hope we get along.
（こんにちは。新しくここに入りました。新しい環境に結構緊張しています。仲良くできると嬉しいです）
★I hope we can be good friends.
（いい友達になれると嬉しいです）
学校や友達ができるようなコミュニティで自己紹介で使うことができる表現です。
職場は友達を作る場所ではないので公には使わないですが、個人的に友達になりたいような人がいれば、この表現を使うことができるでしょう。