頑張ります！は英語でどう言うの？

I'll do my best.
シンプルに「頑張ります」と言いたい場合はこちらの言い回しが良いでしょう。

I'll try my best.
「努力します」「やってみます」という意味の表現です。I'll do my bestと比較し、達成できないかもしれない苦しい状況に置かれている時に使われます。

I will.
上記二つよりも「頑張ります」の意味合いは薄れ、少々淡白な返事となります。短い言い回しである分、抑揚や強調によって軽く受け止めているか真剣に臨んでいるかの両極端に捉えられます。真剣さを伝えたい場合はあまり抑揚をつけずに言うと良いでしょう。