回答
「way home」は慣用句として覚えてください。
それでも品詞が気になるようでしたら、この「home」は名詞です。
「on the way」または「on one’s way」に続く言葉は、向かう方向を表す言葉です。それが自宅である場合、前置詞 (to) も冠詞 (the) も使わずに「home」とします。
I saw a white dog on my way to the post office.
「to the」が必要。
I saw a white dog on my way to school.
「the」は使わない。
I saw a white dog on my way to work.
「the」は使わない。
I saw a white dog on my way home.
「to」も「the」も使わない。
この「home」は副詞ではありません。副詞は動詞や形容詞を修飾するもので、名詞 (way) を修飾することはないです。以下に「home」を副詞とする例を挙げます。
I went home after 9 pm.
He will be happy to drive home. He’s got a nice, new car.
I decided to stay home because it was raining.
また、「home」を形容詞として、「way」を修飾することはありません。以下に「home」を形容詞とする例を挙げます。
What’s your home phone number?
My cozy home office is the perfect place to work.
The team’s home game was a thrilling event for local fans.