「付き合う」は英語でどう言うの？

交際をするなら、dating
Ex) Mari and Jay are dating.

ちなみに別れたは、broke up
離婚はdivorce です.

「付き合う」はgo outと言います。

例えば、「私と付き合ってください」は 「Can you go out with me?」といいます。
「私たちは付き合っている。」は「We're going out.」などと言います。
もう少しはっきり言うのであれば「We're in a relationship.」直訳すると「私たちは関係を持っている」となりますが、付き合っているという意味です。

単純に出かける場合もgo outを使うため、時間などを入れると区別がしやすいです。
「今夜付き合ってくれる？」などは「Can you go out with me tonight?」など。日本語でも同じですね。「どこかに付き合って」、と「私と付き合って」は同じ言葉ですが意味が違います。

また「彼女の買い物に付き合う」ですが、これは買い物に付き合ってやってる感があるのでニュアンスが難しいです。「I went shopping with my girlfriend」だと「彼女と買い物に行った」となりますが、付き合ってやった感を出すには「My girlfriend wanted to go shopping so I went with her.」（「彼女が買い物をしたいというのでついて行った。」）などちょっと長くなってします。

交際するはAssociateだと思います。
買い物に付き合うのはgo shoppingでいいと思います。