回答
そうではないです。「convince」と「persuade」の違いは、使われ方の傾向に過ぎません。入れ替えても間違いではないです。
「convince」と「persuade」は、どちらも次のような説得の仕方を含んでいます。
(1) それが真実だと納得させようと説得する
(2) 何かをさせようと説得する
「convince」は (1) の説得の仕方、「persuade」は (2) の説得の仕方に使われることが多い傾向があります。
He convinced me that the story was true.
They convinced us that they were innocent.
I convinced myself that I was doing the right thing.
He persuaded his friends to go hiking with him.
Her friends could not persuade her to see a dentist.
I am not easily persuaded to change my view on global warming.
しかしこれはあくまでも傾向の話であって、上の例文で「convince」と「persuade」を入れ替えると間違いなのかというと、間違いではありません。
中には、間違いだと言う人もいるかもしれませんが、実際にはそこまで厳密に使い分けられていません。Merriam-Webster Dictionary にも、両方の例文が載っています。
「convince」を (2) の意味で使う例
We convinced them to go along with our scheme.
I was unable to convince her to stay.
「persuade」を (1) の意味で使う例
They persuaded us that we were wrong.
He persuaded himself that he had made the right choice.