回答
こんにちは。キャッチフレーズっていうことですから、キャッチーにした方がいいですよね。
＜原文＞
life with old culture & nature
日本語も「生きる」と動詞になっていますし、英語では主語を省略して動詞（この場合はlive）から始めると命令とか掛け声とかの思い切った感じになります。
もうひとつ、old は古いというニュートラルな意味にちょっとだけネガティブな古臭い、という意味もあります。古い文化、という価値を語るのであれば、ancient（太古の）とか long-lasting（ずっと続いてきた）long-honoured/honored（後者はアメリカ綴り、ずっと大切にされてきた）などにしても良いかもしれません。
また、&はアンパサンドという名前の記号で「and」の略として使われますが、文章などで使用されることはほとんどなく、「Abercrombie & Fitch」などのように名称の一部として使われる際にのみ有効とされています。
あと、英文は通常、文（主語と動詞の組み合わせまたは命令文）の最初を大文字で始めて、最後はピリオドなど句読点で終わるというルールがありますが、キャッチフレーズやタイトルを表記する場合は、文頭の他に前置詞など以外の単語（厳密には名詞、形容詞、動詞、副詞、代名詞、従属接続詞）の頭文字を大文字にして、基本的には句読点はつけない（インパクトをつけるためにつけることもある）というルールもあります。
Live with Ancient Culture and Nature
という感じです。ロゴデザインなどにするのであれば、
または、誰かが誰かに語りかけているような効果を狙うキャッチフレーズなのであれば、敢えて文章のように最初だけ大文字で句読点も入れて
Live with long-honoured culture and nature.
というふうにするやり方もあります。
ちなみにApple社が「 Think different. 」というキャッチフレーズを使ったとき、句読点を入れて誰かが言い放っているようなぶっきらぼうさや、文法的には「 Thnk differentLY. 」が正しいところ、敢えて口語っぽくやったところなどが話題になりました。
いかがでしょうか。