この違いは何ですか。文法的にどうでしょうか。

I am sorry I am late. は、今私が遅れている（たった今遅れてやってきた、など）ことについて謝っています。
I am sorry I was late. は、今から過ぎ去った時において私が遅れた（さっき、もしくはもっと過去に、遅れてやってきた、など）ことについて謝っています。

My teacher told me I need to study harder. は、先生がこれを述べている私にむかって、（これを述べているところの）私がもっと勉強しないとだめだと言った、と言っています。
My teacher told me you need to study harder. は、先生がこれを述べている私にむかって、（私が語っている対象である）あなたがもっと勉強しないとだめだと言った、と言っています。