このwithはなんですか？

＜原文＞
He jumped on the log and beat it with his large paws.

主語は he で、このhe がjump と beatの２つの動詞を持っていますね。
beat (A) with (B)と英語で言うと、Bで（を使って）Aを打つ、殴る、と言う意味になります。

英語のwithには、このように「〜で、〜を使って」と言う意味を持つことがあります。

I wrote this letter with a black pen.（私はこの手紙を黒のペンで書きました。）
My dad stirred the pot with long chopsticks. （私の父はその鍋を長い箸でかき混ぜた。）