回答
一番シンプルな使い方は接続詞whileを使う言い方でしょうね。
I did sudoku while I was waiting for my bus.
私はバスを待つ間数独をやった。
whileを使う形は主節の主語とwhileが導く接続詞節の主語が共通していれば（ここではI）接続詞節の主語を省略し、動詞をing形にすることも可能です。
I did sudoku while waiting for my bus.
これはいわゆる「ながら」動作ですが、もっと時間的スパンのように長い間に起こることや、「ある人が何かをしているときに、別の人間が何かをした」という場合にも使えます。
I met her while studying abroad.
私は海外留学中に彼女に出会った。
My cousin visited me while I was on summer vacation.
夏休み中にいとこが私を訪ねて来た。
またwhileを使わずに表現できる場合もあります。
I texted my friend on my way home.
帰りながら友人にメールを送った。
彼は日本にいながら英語をマスターした。
He mastered English in Japan.
これはHe mastered English without living in an English-speaking country.ともいえますね。
(1) I was having dinner while watching YouTube.
(2) When I study, I always have music in the background.
(3) I study with music in the background.
(4) I listen to music at desk.
(5) I take English lessons after work.
訳例(1)
「～しながら」は、"while ING"の形がシンプルかつ一般的かと思います。
「音楽を聞きながら勉強する」なら、"study while listening to music"となります。
訳例(2)
「～しながら」という言葉にとらわれず、「～する時は（いつも）～する」という言い方が可能です。
訳例(3)
付帯状況のwithを使って英訳した例です。
日本語でBGMと言いますが、英語圏では使いません。
敢えて言うならmusic in the backgroundとします。
訳例(4)
少しおおざっぱな訳ですが、学生が「机で」と言うなら勉強というニュアンスになります。
訳例(5)
「～しながら」を必ずwhileで表せるとは限りません。
whileは同時進行を表します。
「仕事をしながら習い事」は同時進行の意味ではありませんよね。
この場合は、意味を汲んで「仕事の後に」とすれば良いでしょう。
参考になれば幸いです。
（１）I was eating while I was watching Youtube.
（Youtubeを見ながらご飯を食べてた）
（２）I am studying as I listen to music.
（音楽聞きながら勉強してる）
（１）の～ing while someone is ～ingと
（２）の～ing as someone～はどちらも「～しながら～する」となります。
「仕事しながら習い事に行く」は上記（１）と（２）と同じような形でI go to dance lessons while I am working.としてしまうと習い事と仕事を同時にこなすマルチタスクな人になってしまう為、
・I go to dance lessons after work.
（仕事の後はダンスレッスンに通っています）
のような文章にすると良いでしょう。
ちなみに習い事は一言でenrichment lessonsと言うことも出来ますが、少し不自然に聞こえるため、習い事の内容によって変えると英語にしやすく自然に聞こえます。
以下いくつか例を挙げてみました。
piano lesson ピアノレッスン
tennis club テニスクラブ
cooking class 料理教室
Yoga class ヨガ教室