たくさんdmが来るから分からなかった を英語に訳すと？

Sorry for late reply, I missed your message.
返信が遅くてごめんね、あなたのメッセージを見落としてたんだ。

DM が多くて…というのは言い訳がましく感じる人も多いので、単純に「見落としてたよ」と伝えるのがいいと思います。
もし相手に理由を聞かれたら、
I got a lot of DM now. Really sorry.
今、いっぱいDMが来てて。本当にごめんね。
でよいかと思います。（あくまで友人に対する言葉遣いです）