どうしてこうなるのかわかりません。

save という動詞をS+V+O1+O2の文型で使うと、その save は目的語O1の目的語O2という手間を省く、という意味として理解できます。
save me the troube of 〜というと、me の 〜という trouble を省く、という意味として理解できます。

save という動詞をS+V+Oの文型で使うと、その save は目的語Oを守る、保つ、という意味として理解されるのが一般的です。
save the trouble of 〜 というと、〜という trouble を守る、保つ、と解釈される可能性があるので、そうなると私がそこにいくという手間を守る、保つ、という意味になって、意味が変になります。

ネイティブスピーカーも it spared the trouble と同じ意味で It saved the troubleというふうに言っているのを見聞きしますが、それは「誰かの」が明確に想定されている場合にのみその解釈が可能となるので、必ずしも間違いではないかもしれないですが、使える状況が限定されているという意味で、誤解が生じたり違和感があったりする可能性がある、ということになると思います。