どうして日本に来たのですか。は英語でどう言うの？

★What brings you to Japan?
（なぜ日本にきたんですか？）
「What brings you to～？」は直訳すると「何があなたを～に連れて来ましたか？」となり、来た理由を尋ねる表現です。
フォーマル、カジュアルな場面どちらでも使えます。

★Why did you come to Japan?
（なぜ日本にきたんですか？）
一つ目のフレーズよりもカジュアルな表現です。
ただ、「why=なぜ」というのは、時として強く追求しているような、非難しているようなイメージを与えてしまうことがあるので、言い方には注意です。
日本に来る理由が見つからない時、日本に来るのが「普通ではない」場合に、「なんで日本にきたの？」と聞く時には使えます。
ですが、初対面の人には一つ目のフレーズが無難です。

★What’s the purpose of your visit to Japan?
（日本訪問の目的はなんですか？）
とても硬いフォーマルな表現で、空港の税関で聞かれるような表現です。
「What’s the purpose of ～？」は「～の目的はなんですか？」という意味の表現で、フォーマルな状況で頻出する表現です。