なぜ、「預ける」に"leave"を使うのか。

「なぜ」という問いには答えられませんが、少し解説したいと思います。

leaveの持つ「預ける」という意味は
depositのように貴重品を預ける、金銭を預け入れるということでなく
「責任を預ける」「判断を任せる」という意味で、
つまり誰かに何かを預けてあとはほったらかしということです。

例えば
I leave it to you to decide what to eat tonight.
今晩何を食べるかは君が決めていい（君の判断に任せる）よ。
You can leave the cleaning to me.
掃除の仕事は僕に残して（預けて）いっていいよ。
など。

言葉の意味合いは広いので、参考書だけでは理解するには不十分なので、
例文も載っている辞書で定義を見てみてください。