なぜ、この動詞がingになる？
1.A few weeks later, the woman was at home talking to her husband.
2.On the way to the pool, they saw some children having a lot of fun playing in the park.
1に関して、なぜtalkingとなるのでしょうか？
2に関して、なぜplaingとなるのでしょうか？（havingは恐らく知覚動詞でingがついている？）
そして、この二つのingは同じ文法的（？）な使い方でしょうか？
初歩的なことかもしれませんが、ご教授のほど、よろしくお願いいたします。
回答
こんにちは。
そうですね、while 人 is...というのは「～している間」という意味です。
havingのhaveは知覚動詞ではなくて、使役動詞です。
知覚動詞＝see, hear, feelなどで、なぜこれを特別に習うかと言うと、I saw him do this.と言うように、seeと言う動詞が人を目的語として+原型不定詞でその人の補語を表すことを要求するからです。この原型不定詞について、進行形の場合は現在分詞を使い、I saw him doing this. とできます。
My frined saw me run towards the train.（私の友人は私がその列車の方に向かって走る行為をするのを見た。）
My friend saw me running towards the train.（私の友人は私がその列車に向かってまさに走っているその瞬間を見た。）
両方は些細な違いですが、人が〜するのを見た、と言うのか、人がまさにその時〜している状況であるのを見た、と言うのかの違いです。
現在分詞を要求する事ができる、と言うことは、過去分詞をも要求できます（受け身の表現として）。
My friend saw me taken to the police station.（私の友人は私が警察署に連行されるのを見た。）
My friend saw me being taken to the police station.（私の友人は私がその時まさに警察署に連行されようとする瞬間を見た。）
使役動詞とは、make, have, letなどで、人に〜させる、と言う意味を持つ動詞で、知覚動詞とは全く関係がありません。使役動詞は、人+原型不定詞を要求して、人に〜させる、と言う意味を持ちます。また、これも知覚動詞と同じように、進行形について現在分詞を、受け身について過去分詞を要求する事ができます。
havingは知覚動詞なのか、と言うことについて、以上でhaveは知覚動詞ではなく使役動詞であることがわかります。使役動詞と知覚動詞がごっちゃになるとすれば、それは両方ともが人+原型不定詞や、人+現在/過去分詞を要求するからでしょう。意味は全く別で、双方はお互いにまったく無関係です。
ではここでなぜhaveがhavingとなっているのかについてですが、それはhaveが使役動詞であることとはまったく関係なく、単にhaveと言う動詞の行為が、SVOCの補語になって分詞になっていることに理由があります。動詞 + 人（目的語）+ 現在/過去分詞（補語）と言う、第５文型です。この目的語と補語については、主語+動詞の関係に置き換えられるところが特徴です。
I saw you having fun yesterday. = I saw you yesterday. You were having fun.
My sister heard you screaming quite loudly. = My sister head you. You were screaming quite loudly.
と言うことで、have a lot of fun が having a lot of fun になっているのは、while...を省略した分詞の付け足しではなく、SVOCのC（補語）として分詞が使われているからです。
こんにちは。
この用法を文法的にうまく説明できるか自信がないのですが、私の解釈は以下の通りです。
＜原文A＞
A few weeks later, the woman was at home talking to her husband.
最初のa few weeks later, は時を表す付け足しです。
主語は the woman 動詞は was です。じゃあ the woman was なんだったの？どうしたの？ってことで、補語が要りますから、ここで at home. が入ってます。（これを補語とするかは議論があるかもしれませんが、ここでは主語を補う補語ってことにします。）
その次の talking to her husband. は (while the woman was) talking to her husband. って意味の付け足しの節であるところ、（while the woman was）っていう節の主語と動詞が繰り返しになってクドいので省いて現在分詞の句にしてくっつけてます。
☆A few weeks later, the woman was at home （while the woman was）talking to her husband.
日本語の直訳にすると、「数週間前、その女は自分の夫に話をしながら家にいた。」意訳すると、「数週間前、その女は家で自分の夫に話をしていた。」という意味です。
＜原文B＞
On the way to the pool, they saw some children having a lot of fun playing in the park.
最初のOn the way to the pool, は場所を表す付け足しです。
主語は they 動詞は saw です。じゃあ they saw 何を？ってことで、目的語が要りますから、ここで some children が入ってます。さらに、some childrenを見たってだけじゃなくて、some children が having a lot of fun してるのを見た、って言ってます。
その次の playing in the park.は (while the children were) playing in the park.って意味の付け足しの節であるところ、（while the children were）っていう節の主語と動詞が繰り返しになってクドいので省いて現在分詞の句にしてくっつけてます。
☆On the way to the pool, they saw some children having a lot of fun （while the children were）playing in the park.
日本語の直訳にすると、「プールに行く途中で、彼らは何人かの子どもたちが公園で遊びつつとても楽しい時を持っているのを見た。」意訳すると、「彼らは、プールに行く途中で、何人かの子どもたちが公園で遊びながらとても楽しそうにしているのを見た」という意味です。
両方とも、（人やものが）〜しているのを、という意味の付け加えで、その節の主語が被ってるから省略して現在分詞句として使っているっていうことで、同じ用法だと思います。
We saw thousands of people maching down the street carrying banners and flags.
We saw thousands of people carrying banners and flags maching down the street.
上の２文は結局言ってることは一緒ですけど、言いたい事が若干違います。
最初の方は、私たちは大勢の人々が道を行進しているのを見た、と言ってます。
後の方は、私たちは大勢の人々が横断幕や旗を持ってるのを見た、と言ってます。
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なぜtalking/playingとなるか、は、現在分詞句にして付け足したいからです。（while 人 is ~ の省略と考えるとわかりやすいかもです。）
havingは、知覚動詞（see, feelなど）ではなく、使役動詞（人に〜させる）という使い方ができますが、ここのhavingは単に「have a lot of fun」のhaveです。have a good time の have と一緒です。
この have fun ですが、よく会話で使います。
私：I'm off to see my friend now.
同僚：Oh great, have fun!
いかがでしょうか。