回答
まあ、こういう単発なうんちくなんて、英語習得においてあまり発展性があるわけでもないし、別に知っていることが偉いわけでもない。本来の英語の習得から反れて、そういう知識の蓄えが常識だと固執するような人は、まさに記憶方式の日本の教育が生み出した知的レベルの低い産物なのでは？（笑）
うんちくは、知っている事を強要されるものではないです、皆さん安心してください！
ただ、エモいの由来は実際音楽ということだそうです。参考程度に。
「エモい」の由来は音楽で実は古い？正しい意味と使い方、類語や英語を紹介
https://eigobu.jp/magazine/emoi#heading-84752
全員ちげーーーーーーーよ
emo って音楽ジャンルから来てんだよ。
お前らほんと頭でっかちでなんも知らねーーな。
ﾜﾗ
13 番さんだけが正解。
もともと女々しいって意味だから、sissy.
とでも言っとけ。
意味違う？どうせ言ってる本人も意味わかってないだろ（笑） これ以上 japangrish を披露して生き恥を晒すな。v 日本人の知的レベルが低いという評判をこれ以上裏書き（endorse）するな。
物を考えるのは15年あっちに住んでからにしろ。クソ無駄だ。とにかく丸暗記しろ。
お前は馬鹿なんだからとにかく考えるな。
日本人、猿以下に喋れないと東南アジア人にすら馬鹿にされてんだぞ。
恥ずかしいと思わないか。
単純に努力が足りてないから馬鹿にされるのだ。
お前らは馬鹿でかつ努力が足りてない。
若いからしょうがないってもんでもない。
安易に人に聞くのは教育がクソなせいだ。
もっと本を読め。
最も優秀な教育者は教えたりしない。
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「エモい」って「今年の新語2016」で第2位 になってたんですね。私自身は使わないので、知りませんでした。
「エモい」が日本語には適切な単語がなくて、英語のemotional からとってきているのであれば、それを英語で言おうとすれば、単純に考えれば emotional に戻せば良いような気がしましたが、この単語が広い意味を持つので、実際にはもっとはっきり伝えたくなるかもしれないですね。
懐かしむ感情が強く、「エモい」場合には nostalgia だとか I remember this といえばその後ろにある言葉にできない大きな感情を乗せることもできそうですよね。その思い出がどういう味なのかによっては、sweet memories または this reminds me of my bitter past なんかでも？ ただ、昔だな〜、と思うのであれば、How far ago? でも伝わるかもしれないですね。
「エモい」感情によって、引き起こされる自分の状態を言っても説明できる場合もあるでしょうか。
This makes me tears （泣きたくなっちゃう）とか
I missed this so much （なくなっちゃって、寂しかったんだ）
I can find no words to say （言葉が見つからない）とか。
懐かしい歌に出会ったのであれば、I can still sing along なんて言っても、それをどのくらい好きだったか、再会できてどのくらい嬉しかったか、が表現できそうです。
「エモい」って難しい表現ですよね。日本語でも定義を述べよ、と言われたら少し困ってしまいます。
もともと「エモい」は、英語の「感情的な」という意味の”emotional”からきていると言われています。
なので、「感情的になる」という意味だけで使うなら”emotional”だけでももちろん良いのですが、いかんせん、日本語の「エモい」はそれ以上の意味が付与されるようになっています。
その上で、質問にあるように、「なつかしさや切なさのニュアンスを含むなんとも言えない感情」という意味がある英単語と英語表現をいくつか紹介します。
・heartwarming
（心温まる）
例えば、自分の琴線に触れるような事柄を見聞きして、心が温まって「エモい」と思った場合使える表現です。
【例】
I and my friends talked about our days during university and it was heartwarming.
（友達と大学時代のことを話して、心が温まった）
・nostalgic
（懐かしい）
日本語でも「ノスタルジー」という単語を聞くと思いますが、それと同じ意味の英単語「nostalgia」の形容詞です。ちなみに、「ノスタルジー」はフランス語です。
昔の幸せな出来事などを思い出して、少し感傷的になるようなことを指す表現です。
【例】
The photos reminded me of my home and it was nostalgic.
（写真を見ていたら故郷のことを思い出して、とてもノスタルジックだった）