デザートを食べる。

I did not have the dessert. と言えば、そのデザートを食べる機会を持たなかったという意味で「食べなかった」という意味です。 I did not eat the dessert. と言えば、そのデザートを口に運んで食べることはしなかった、という意味です。have のほうは食事という感じで食べ物を食べることだけではなくてそういう場や機会を持つというニュアンスがあります。eat のほうは食べ物を口に入れて食うというニュアンスがあります。
eat lunch はおひるごはんを食べるという意味で言えますが、eat a bento box というと「お弁当箱を食べる」っていうことになって誰かが弁当箱の容器をむしゃむしゃ食べてるみたいな感じになります。I had a bento box for lunch. は言えます。それは、have がむしゃむしゃ食べることではなくて食べる機会を持つという意味があるからです。bento box を相手が知らなければ、I had a Japanese boxed lunch. とか言い換えもできます。boxed lunch だけだとお弁当に限らずサンドイッチとかフルーツとかを箱に入れたものを連想させます。eat の後には lunch などの他、通常は実際の食べ物を言うことが多いです。