回答
こんにちは。
英語では、基本的に、
１．文とは主語と動詞のセットでできている
２．普通文を疑問文に直したければ、動詞を主語のすぐ前（文の先頭とは限りません）に持ってくる
３．普通文を否定文に直したければ、動詞のすぐ後ろにnotをつける
４．助動詞は、動詞のすぐ前に置いて、２や３のように疑問文や否定文を作る際には、動詞の代わりに、助動詞を主語の前に持ってきたり、助動詞のすぐ後ろにnotをつける
ということになっています。
動詞にはbe動詞と、それ以外全ての一般動詞があります。
文の動詞がbe動詞の場合、おっしゃる通り、この基本ルールにしたがって、
He was very tired today.
→ Was he very tired today?（疑問文）
→ He was not very tired today. = He wasn't very tired today. （否定文）
となります。
この文章に助動詞があるとしたら、動詞であるbe動詞のすぐ前にあることになります。例えば
He would be very tired today.
→ Would he be very tired today?（疑問文）
→ He would not be very tired toda. = He wouldn't be very tired today.（否定文）
文の動詞が一般動詞の場合にも、基本的にはルールは同じですが、be動詞と違って、一般動詞には do という助動詞が動詞の前に隠れています。この隠れたdoという助動詞は、動詞が現在形の三人称単数の場合はdoesになり、動詞が過去の場合はdidになります。この隠れたdo/does/didが、疑問文や否定文の時、上の助動詞のルールに従って、動詞本体の代わりに主語の前にきたりnotを伴ったりしているのです。
He tried to call you yesterday.
He (did) try to call you yesterday.
→ Did he try to call you yesterday?（疑問文）
→ He did not try to call you yesterday. = He didn't try to call you yesterday.（否定文）
ちなみに、この隠れたdo/does/didという助動詞ですが、隠さないでわざわざ言うことで、「本当に〜だ」「まさに〜だ」というふうに動詞を強調した言い方にする、という使われ方をすることがあります。
He tried to call you yesterday. 彼、昨日あんたに電話しようってしてたよ。
He did try to call you yesterday. 彼、昨日は確かにあんたに電話しようってしてたんだよ。
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上の英語の基本ルールに従って、一般動詞自体を主語のすぐ直前に持ってきて疑問文にしたり、一般動詞のすぐ後ろにnotを置いて否定文にしたりする言い方もなくはありませんが、一般的ではありません。
You have a pen.
→ Have you a pen?
→ You have not a pen.
ニュアンス的には、かなり堅苦しくて古臭い感じになると思います。
ですので、主語の前に直接一般動詞を持ってくることは不可能ではありませんが、一般的には助動詞を使って疑問文や否定文にすることになっています。