世界で活躍する。は英語でどう言うの？

「活躍する」に等しい英語表現はあまりありません。
そのかわりに、下記のような表現ができます。

★be prestigious worldwide
（世界中で名声のある）

・prestigious
名声のある、一流な、権威のある。

【例】
This designer is prestigious worldwide.
（このデザイナーは世界中で名声がある）

He is a prestigious designer worldwide.
（彼は世界中で名声のあるデザイナーだ）

★be respected worldwide
（世界中で評判がいい）

・be respected
尊敬されている、評判がいい。

【例】
He is a respected designer worldwide.
（彼は世界中で評判がいいデザイナーだ）