何が違うの？

I won't shed tears. の won't は will not の省略形です。
つまり
I will not shed tears. と言っています。
これを、I will shed no tears.（no）
ということもできますし、
I won't shed any tears.（not any）
とも言えます。

I won't shed no tears. だと、I will not shed no tears. ということになって、ひとつの文に no が2つも入っているので、文法的には間違いですが、しゃべりことばでこういうことがあります。I won't shed no tears. は、no を2回も重ねているということから、「絶対に何があっても涙なんか流さない」という感じのしゃべり言葉表現になると思います。

I won't shed tears. だと、ただ「涙を流さない」と言っていることになります。