何節に該当しますでしょうか？

（つづきです）
Do you find doing housework a chore? を find (that) + 節で言い換えると、

Do you find that doing housework is a chore?

となります。ここでいう節は、Doing housework is a chore. という文の中にある文（主語と動詞のあるフレーズ）です。

この場合、that を省略すると以下の節と主文がちょっとごっちゃになって区切りがわかりにくくなるので、省略しない人が多いと思います。（この文で that を省略してもかまいません。）

Do you find doing housework a chore?

動詞 find は、find (that) + 節で、〜ということがわかる、気づく、という意味で使うことができますが、
find A名詞 + B名詞または形容詞 で、A が B である、とわかる、気づく、というふうに使うこともできます。

find A + B として動詞 find を使うと、その文は5文型の整理で言うと、第5文型となります。つまり、find という動詞が、1つの目的語（この文の場合は「doing housework」）を要求していて、その目的語がどうだ、ということを言うために、目的語についての補語が「a chore」としてついています。

この文の「doing housework」は、文の要素としては目的語として置かれていて、品詞（ことばの作用や働き）でいうと、名詞として働いています。doing は do という動詞を名詞として使っているので動名詞として働いています。

英語の文には、主語と動詞の組み合わせが必要で、その文の中にまた主語と動詞の組み合わせがある部分（文の中にある文）のことを「節 clause 」と呼びます。
同じく英語の文の中で、いくつかの単語がセットになって働いている部分のことを「句 phrase 」と呼びます。

「doing housework」の場合は、文の中で複数の単語がセットになってひとつの名詞のように働いていますが、そこに主語と動詞の関係があるものがないので、これは節ではなく句である、ということになります。名詞として働いている句、ということで、これは文の中で目的語として置かれている名詞句です。