回答
出産祝いの言葉をカードなどにメッセージとして書くのでしたら、次のような表現がいいと思います。
(1) Congratulations!
「おめでとう」
最も基本的かつシンプルな表現です。複数のsを付け忘れないようにしましょう。
(2) Congratulations on your new baby!
英語では「出産」とは言わず「赤ちゃん」など具体的な言葉を使うのが一般的です。
例(1)では意味が広すぎますので、congratulations on...の形で「～おめでとう」とします。
(3) Congratulations on your new arrival!
これは比喩的な言い方です。arrivalは「到着」とこと。新しい一員が家にやってきたという雰囲気を出せます。
(4) Congratulations on your new little family member!
例(3)よりは直接的ですが、新しい小さな家族におめでとうということですね。
(5) Best wishes for your new baby!
メッセージカードになら、このような言い方もよいでしょう。
参考になれば幸いです。
★Congratulations on the birth of your baby girl/boy.
（赤ちゃんの誕生おめでとうございます）
「congratulations on~」は「～についておめでとうございます」という意味です。
英語では、「出産おめでとう」と母親をねぎらうのではなく、「赤ちゃんの誕生おめでとう」と、赤ちゃんのことを祝福することが多いです。
赤ちゃんが女の子であれば「baby girl」、男の子であれば「baby boy」と言います。
★Congratulations! You will be a great father/mother.
（おめでとうございます！素晴らしい父親／母親になると思いますよ）
これから父親、母親になる人をねぎらう表現です。
少し遠回しですが、出産と赤ちゃんの誕生を祝福する表現でしょう。
★Congratulations! I wish you all the best with your new baby.
（おめでとうございます！赤ちゃんとの幸運をお祈りしております。）
「I wish you all the best」は「I wish you the best」の強調表現で、「心からご多幸をお祈りしております」という意味合いのの用言です。
赤ちゃんに「new=新しい」をつけるのは不自然に感じるかもしれませんが、ここでは「最近生まれた」というニュアンスになります。