助動詞の質問です。

③をいれて訳すと、家にいたほうが「よくない」(=外に行かないほうがいいよね)？
となります。

もし、notがなければ　
家にいたほうがいい「です」か？　となります。
雨が降ってきたので、わざわざ「家にいたほうがいいかどうか」を聞かなくても、外に行かないのが普通なはずです（状況にもよりますが）。だから、「家にいたほうがいいよね」という意味の会話をしているのだと思います。

といっても、この問題作成者は常識を確認するのではなく、had betterの使い方を理解しているかどうかを見たいだけだと思うので、深く考えなくても大丈夫でしょう。