動詞について

文が長くなると1文に動詞が何個も出てくることがあります。でもメインの動詞（述語動詞という）は原則、1文に1つだけ。それ以外の動詞はなんらかの形で文のどこかを修飾する「飾り」です。

問題の正解をquietlyだと勝手に推測すると
Visitors to the library are asked to speak quietly.
図書館の利用者は小さな声で話すよう求められている。

この文の骨組となる主語＋述語動詞だけ抜き出すと、
Visitors are asked　　　　利用者は求められる
です。
to speak ______（小さな声で話すよう）はメインの動詞であるare asked（求められている）を詳しく説明する部分（句）です。
空欄は動詞speakを修飾する単語が入るので動詞を修飾できる副詞が入るのです、という解説です。

この場合、speakは動詞には入りません。
日本語の文の、「00しながら、00する」のように、文のヘルプをするものです。