回答
「帰宅途中」「～に偶然会った」の英語表現は次の通りになります。
【帰宅途中】
(1) on my way home
「自分の帰りの道で」と言うのは、ほぼ100%このフレーズが使われますので、覚えてしまいましょう。別の言い方であれば、"when I was going home"と表すことができますよ。
【～に偶然会う】
(2) I met Susan by chance/by accident on my way home from school.
（学校から帰る途中で、スーザンにばったり出会った）
by chanceまたはby accidentで「偶然に」という意味の副詞を作ります。
(3) I happened to meet Ken on my way home.
（家に帰る途中、ケンに出くわした）
happen to Vで「偶然～する」「たまたま～する」という意味になります。
(4) I came across a friend from college on my way home.
（帰宅途中、大学時代の友人に偶然会った）
come across [人]で「偶然会う」の意味です。[物]が目的語になると「偶然見つける」という意味になります。
(5) I bumped into John on my way home.
（帰宅途中、ジョンに会った）
bumped into [人]の形もよく使われます。
(6) I ran into Bill last night on my way home from the supermarket.
（昨夜スーパーから帰る途中、ビルに会った）
run into [人]も「偶然会う」というフレーズです。
いろいろな言い方がありますね。
参考になれば幸いです。
★I met my friend on my way home.
（帰宅中に友達と会った）
「on 代名詞 way home」は「帰宅中」という意味で、最も使われる表現です。
「on 代名詞 way to～」は、「～までの道中」という意味です。
★I bumped into my friend when I was heading home.
（家に向かっているときに友達に出くわした）
「bump into」は「出くわす」「偶然に会う」という意味のくだけた表現です。「bump」が「ぶつかる」という意味なので、「その人に気づかずぶつかりそうになった」というニュアンスがあります。
「head (to) ～」は「～に向かう」という意味です。