回答
「for a second time」は「again 再び」と同じ意味です。２回目に発生した事象を、時間軸上に特定しないときに使います。
ついこの前、エクアドルで、一度お亡くなりになった女性が、お棺の中で蘇生し、集まった人を驚かせたそうです。今日、この女性は、再びお亡くなりました。このニュースの記事には、次のような文があります。
He has to register his mother's death on the civil registry for a second time.
息子さんが死亡届を「再び、また、もう一度」提出しないといけなかったという意味で、「for a second time」を使っています。「for a third time」、「for a fourth time」も同じように、時間軸上に特定しないときに使います。
「for the second time」は、２回目に発生した事象を、時間軸上に特定するときに使います。
His team the championship for the second time during the pandemic.
彼のチームがその大会で優勝したのは、単に「再び」ではなくて、コロナ禍の最中で２回目のことだったことを「for the second time」で表しています。他に、日本語で「第二回」のように「第」を使うような場合は、「the」を使います。
for a second time という時には、この a は time にかかっていて、second のみならず、third, fourth, fifth... とたくさんある time の中のひとつ、というニュアンスです。
for the second time という時には、この the は second time にかかっていて、second time はもう二度とこない、というニュアンスです。
この文では、今回は a second time だけど、また a third time、a fourth time... がありえる、というニュアンスが読み取れます。