接続詞が足りてないようなのですが…

"that"を入れることができるが「関係代名詞」ということですね。
あたくしも文法用語はあまり得意ではありませんので失礼いたしました。m(_ _)m

There is no limitation on the number of times that any qualified person can run for or serve on the board.
　
上の that は、接続詞ではなくて、関係代名詞です。それに続く節は adjective clause (日本語が分かりませんが、関係節かも; a subordinate clause that functions as an adjective) で、the number of times を修飾しています。もとのご質問にある文は、この関係代名詞 that が省略されています。

The new law states that any qualified person can run for or serve on the board as many times as they want.

この文の that は接続詞です。それに続く節は、noun clause object です (すみません、日本語不明 )。This "that" is a subordinating conjunction (接続詞), and it introduces the subordinate clause (従属節) starting with "any."

文法の説明は苦手なので、すみません。

次のように接続詞の"that"を用いて"the number of times that..."と表現することはこの質問の英文でも可能と思われますが如何なものでしょうか:

No limits: The vast majority of jurisdictions do not limit _the number of times that_ you are able to sit for the bar exam (so in theory, you can sit for the bar as many times as you want).
https://www.jdadvising.com/is-there-a-limit-on-how-many-times-you-can-take-the-bar-exam/?__cf_chl_jschl_tk__=pmd_600826e9fe14abe201e4b89c6773d3572ff6ca2a-1628732313-0-gqNtZGzNAmKjcnBszQii

この文に接続詞を入れる余地はないです。不要です。次の文を、比較してみてください。

We can visit Disneyland three times this year.

We can visit Disneyland many times this year.

We can visit Disneyland as many times as we want this year.

最後の文を、There is no limit で始まる文に変えるとこうなります。

There is no limit on the number of times we can visit Disneyland this year.

この文の形は、ご質問の文と同じです。