教えてください！

凄くわかりやすかったです。
英語を日本語に直して考えると確かに私の分はことが抜けていて変でした。
ありがとうございます。

use は動詞で、現在分詞形（ing形）は using となります。
動詞が表す動作などのことを名詞として使いたい時、例えばこの例であれば
使う、を「使うこと」という名詞として使いたい時には、
英語の動詞の現在分詞形（ing形）を「動名詞」として使うことができます。

They thought that use things carefully is important.
と言うと、that以下の節（文の中にまたある文）が
Use things carefully is important. となって、主語が動詞になってしまっていて、動詞が文の中に2つもあることになってしまいます。日本語で言うと「ものを注意深く使うは大切だ。」（使う「こと」が抜けている）みたいな感じです。
これを避けるために、日本語でも、使う「こと」と入れるのと同じような感じで、use を using とするわけです。

use は「使用」という意味の名詞としても使うことができるのですが、use をこの文章で名詞として使うのであれば、
Careful use of things is important.
みたいにしないといけなくなって、「ものを大切に使うこと」が「物品の注意深い使用」みたいになって、文法的に間違いじゃないんですが、ちょっと変な感じになります。
発音ですが、use を動詞として使うときは「ユーズ」、名詞として使う時は「ユース」となります。動名詞の場合は元が動詞なので「ユーシング」じゃなくて「ユージング」です。