文法読解

難しい文章ですね！
これは文章を以下のように区切ると分かりやすいです。

“I have selected to play for you a few short pieces that /I hope/ will give you a good idea of the range of my musical ability."

本来であれば、”I hope”をコンマかダッシュで囲むことが多いです。
「〜だといいな」という意味の補足の文です。

ここの”that”は関係代名詞で、”that”以降は”a few short pieces”を修飾する文です。
構文で言えばSVOOで、”that”がS、”will give”がV、”you”がO、”a good idea of range”がOです。

少し分かりづらいかもしれませんが、少しでも参考になれば幸いです。