文頭Thatが接続詞でない場合もありますか？どうやって見分けますか？
例文１：That Beethoven, who was so passionately fond of music, should cease to hear seemed too cruel to be true.
この場合thatを形容詞として「例のベートーベンは」と理解することもできるのではありませんか？
例文２：That dance is becoming very popular among young people has been proven by a nationwide survey.
この場合、名刺danceが不定冠詞/複数sではないこと・ hasで名詞節を受けてることから
形容詞that dance「例のダンス」ではないとする解説がありましたが、a danceの会話の後にthat danceと話すこともありますよね？
いろんな使い方があるthat、見分けるコツはありますか？
会話だと前の文章と繋いでるか、前の話のことかなと思ってしまいます。
回答
That Beethoven, who was so passionately fond of music, should cease to hear seemed too cruel to be true.
これは 名詞節を導く接続詞 that であって 順序が 冒頭にきてる と考えないと 文が成り立たないように思います。
ベートーヴェンは聞くのをやめないといけない ということは 残酷 という意味にしか 思えない。
そのベートーヴェンでは 文が成り立たないと思えます。
例文２：That dance is becoming very popular among young people has been proven by a nationwide survey.
これも 順序が冒頭にきて （一般的な）ダンスは人気になってる ということが 証明されている。 名詞節を導く 接続詞 that と理解したほうが 素直な文章に見えます
dance を不可算名詞として使ってるということか そういうのもありうるのか な と思います。
そのダンス だと has been proven..... が どういう文法ででつながってるのか 構文が理解困難な感じがします