回答
このやりとりでの He's taken the day off. は、
He has taken the day off.
ということです。
take the day off というのは、ある特定の就労日に休みを取る、という意味です。
He has taken the day off. と現在完了形を使っているのは、今現在すでに he が take the day off して今の時点に至っていることを言っているからです。
話し言葉では、こういう状況で「He took the day off.」と単純に過去形で言うこともあります。それは、he が take the day off するということが起こって（過去）、それが現在に影響している（彼が職場にいない）ことが自明である場合に言うことができます。
take a day off ということもできますが、take the day off がある特定の日を休むことであるのに対し、take a day off はある１日を休む、と言っているという違いがあります。例えば、有給休暇が１０日あって、そのうちの１日を休むということであれば、take a day off と言います。
実際には、take the day off も take a day off もあまり区別なく使われている印象がありますが、厳密にはこのようなニュアンスの違いがあります。
He takes a day off. というのは現在形なので、いつという限定や現実的な事実にかかわらず、彼は１日休みを取る（ということだ）、という漠然としたことを言っていることになります。
He is taking a day off. は、現在進行形なのですが、現在進行形にはニュアンスとして「今この時点で」ということに加えて「近い将来そういうことになる（ことになっている、らしい）」というニュアンスもあって、take a day off は動作としては継続して take take take... というふうに連続でできることではないので take a day off した後の off の状態が続くということを表すので、彼は（近い将来）休みを取る（らしい）。というような意味になります。
Tom: I could ask Mike to do this job tomorrow.
Paul: Oh, I think Mike is taking a day off tomorrow.
Tom: Really? He didn't tell me that!
このような違いがあるので、Tim isn't working today. He's taken the day off. を同じ意味で He takes (is taking) a day off. または He takes（is taking) the day off. と書き換えることはできませんが、
He took the day off. / He took a day off. と書き換えることはできます。