無知ですので是非教えていただきたいです。

ありがとうございます。
質問者の代弁の補足としてですが、

②の英文として存在できるのかというところですが、質問者の真意は、「不定詞の副詞的用法だと捉えたとしても」文法的に間違っていないか？ということだと思います。

この場合、sometingを修飾しているわけではなく、
「give me something」を修飾していると言えるでしょう。

変な日本語ではありますが、「りんごを運ぶという目的のために、あなたは私に何かを与えてくれませんか？」という感じに訳せると思います。この場合、「アップルを入れる箱」である必要はありません。アドバイスでも、勇気づける言葉でも良いでしょう。エネルギーをつけるためにチョコレートでも良いかもしれません。

私は最初の回答で、文法的解釈から逃げてしまいまいたが、②の回答をするなら、上記のようになると思ってます。

As I have nothing knowing about it, I am very happy if you could show what it is.

　わかりました。では，②の質問に文法的な解答を与えます。
　まず大前提として，質問者さんの文の to不定詞 は形容詞用法ですね（something を修飾しているためです）。今回はこれを大きな形容詞と見立てます。
　もう一つ，関係詞というのも，本質的に考えれば形容詞（今回で言う大きな形容詞）です。そこで，形容詞的用法の to不定詞 と関係詞は，文法上同じ性質で，形だけが異なるものだと考えることができます。

〈注意：今回はわかりやすくするため次の単純な文章を使います〉
〇 I have something to write with.
　　＝ I have something which I can write with.　
　↑結論としてこれらが正しい文です。

　ここからが本題です。to不定詞 だと考えにくいので，関係詞の方でこの問題について考えて見ましょう。

　〇正　：I have something which I can write with.
　×誤①：I have something which I can write.　……（１）
　×誤②：I have something which can write.　……（２）

　こうしてみると，with のない文が不適切である理由が見えてくるのではないでしょうか。

【誤①が不適切な理由】
　これは目的格の関係代名詞です。よって，訳としては
　　● 私は，私が書ける something『を』持っている。
となってしまい，意味が変わって（というか不自然な文になって）しまいますよね。ですから，誤りです。

【誤②が不適切な理由】
　これは関係代名詞の主格です。よって訳としては
　　● 私は，something『が』書けるものを持っている（？）
になるのでしょうか（おかしな文ですね）。

【正が適切である理由】
　そもそもこの文で言いたいことは，「私は何か書くためのものを持っている」ということですから，２文で書くと
　I have something. ＋ I can write with it.
となります。しかし同じ内容を２回言うことを英語は好みません。関係詞の醍醐味はここにあります。かぶる２文を一つにまとめ，くどくならないようにすることですから，
　I have something which I can write with.（ it もかぶるため省略できますね）
というのが正しい文となるわけです。

　したがって，with を含まない文では文法的に成立しなくなってしまいます。
　同じ理由で，不定詞の場合も with がなければ文法的に成立しないということになります。

「関係詞節で前置詞が必要ならば，形容詞的用法の to不定詞 でも前置詞が必要である。今回の文でも形容詞的用法の to不定詞 を関係詞に置き換えると前置詞がなければ文法的に不成立になってしまうため，to不定詞 のほうでも文法的に成立しなくなる。」
　というのが今回の答えです。

そうですね。

トングのような道具を使って、アップルを運ぶのであれば、with を使うのでしょう。こんなことを考えてみると、前置詞を使った方が、言葉として深みが増しますね。

ところで、文法的にどうなのか、ですが、

前置詞を省いて、「アップルを運ぶために」と訳せるわけで、文法的には不可能ではないような気がしますが、どうでしょうか？（質問者を代弁して・・・）

Ken-Kenさん、どうですか？

　こんにちは。
　今からお話しすることは，あくまでも僕の考えであって，教科書的に・文法的に正しいかどうかは保証しませんが，参考になれば幸いです。

　前置詞と動詞について。
　そもそも前置詞は何のために使うのかを考えたことはありますか。前置詞がない文では，どのようになってしまうのでしょうか。それを考えるために，次の文章を例として使います。
　　〇 He is running in the park.
　当然，in が使われているため，「彼はその公園の中を走っています」といった文章になります。ここで前置詞 in を，around という別の前置詞に変えてみます。
　　➊ He is running around the park.
　この文の訳は何でしょうか。around は「～の周りを」などと訳されますので，「彼は公園の周りを走り回っている」といった文章が妥当でしょう。さらに，前置詞 around を，別の前置詞 to に変えてみましょう。
　　➋ He is running to the park.
　これは「彼は公園に向かって走っています」ですね。このように，前置詞を変えて書いた文章をまとめてみましょう。

〇 He is running〈in〉the park.
　　→ 彼は公園の中で走っている。
〇 He is running〈around〉the park.
　　→ 彼は公園の周りを走っています。
〇 He is running〈to〉the park.
　　→ 彼は公園に向かって走っています。
〇 He is running〈by〉the park.
　　→ 彼は公園のすぐそばを走っています。
〇 He is running〈from〉the park.
　　→ 彼は公園から走っています。
〇 He is running〈across〉the park.
　　→ 彼は公園を横切って走っています。
〇 He is running〈through〉the park.
　　→ 彼は公園を走り通り抜けています。

　お気付きですね。前置詞が変われば，文の意味が大きく変わってしまうのです。もっと詳しく言うと，動詞の意味を大きく変えてしまうのです。
　言い換えると，動詞には前置詞が必ずセットで必要になるのです。だからふつうは，動詞があれば前置詞がある，というのが英語です（しかしながら，前置詞がなくても伝わるだろうという動詞がある場合は省略されています）。
　ですから，質問者さんの文 "Could you give me something to carry these apples in" の in がなくなってしまうと，動詞 carry の意味が不安定になってしまうのです。なぜなら，前置詞が動詞の意味を大きく支えているからです。
　したがって，答えとしては，
　①　正答とはなりません。理由は，前置詞がないと動詞 carry の意味が不安定になってしまうから。
　②　文の意味を正確にわかってもらえないため，英文として存在することはできません。

（②については，「文法的な」説明が必要でしたらお声掛けください。）

　【補足】
　前置詞の重要性を示す良い例がありました。リンカンの名言です。
"the government of the people, by the people, for the people "
　前置詞を変えるだけで，"government" という単語の意味・使われ方が変わっていますね。

（１）かごのようなものの「中に」入れるわけですから、inが必要です。
日本語に対応する英文としても、inがあるほうが自然だと思います。