熟語と前置詞区を見分ける方法や考え方について

文法詳しくないですが、
I live はそれだけで　文が成り立ちます。live は基本的に自動詞だから　目的語　がないのが普通です。
(live a happy life というように例外的に他動詞とする使い方もあり得ますが）
自動詞だから　I live だけで文が完結しているから　in Kyoto と前置詞を使って説明を付加します。

他方　put 自体は他動詞だから　必ず目的語が必要です。
この文章で　put が単独の動詞だと理解すると　I put the badge on this coat そのバッジをコートにつけた　というように　badge くらいの目的語がないとおかしいです。put に対応する目的語がないのだから　この　put は単独の動詞ではない　と理解します。

英語の語彙力を増やしていくためには、単語と熟語の両方を覚えていきます。熟語というのは、２語以上の単語から成り立っていて、独自の意味を持ちます。ご質問にある「put on」も、２語で「着る」という意味です。

日本語でもたくさんの熟語があります。例えば、日本語で「頭が固い」と言いますが、それは「融通が効かない」という意味です。でも、「頭」と「固い」という２つの単語を別々に考えると変です。人の頭は固いものですから、当たり前のことです。頭が柔らかいのは、生まれたての新生児だけです。

他に、「腑に落ちない」と言いますが、それは「納得がいかない」という意味です。しかし、「腑」と「落ちない」の２単語を別々に考えると、まったく意味不明になります。

さらに日本語には、四字熟語があったり、漢字に音読みと訓読みが何通りもあったりして、極めて複雑です。日本語を外国語として学んでいる人は、かなり苦労します。英語にも同じように熟語がありますが、日本語ほど複雑ではありません。

単語や熟語を効率良く覚えるには、日常のコミュニケーションの中で言葉を吸収して、自分でも使ってみることです。お母さん、お父さん、親戚、友達、学校の先生などが使っている言葉を聞いて、「こういうときには、こういうふうに言うんだな」と学んでいくのです。それが一番自然で、他人と意思疎通する喜びを感じながら、言葉を覚えていきます。

ご質問の「単語なのか、それとも熟語なのか」を判断するには、そのコミュニケーションの中で、相手が何を伝えようとしているのかを意識していることが大切です。その文脈や、状況を常に意識して、「こういうときには、大体こういう意味のことを言うだろうな」と想像を巡らせることです。いつもの生活で、無意識にでも、常にやっていることです。

例えば、外出したいけども、外は寒いという話をしているとき、「I put on this coat.」と相手が言ったら、それは「put on」(着る) という熟語を使っているということは、すぐに分かります。「put」(置く)、「on」 (の上に) だろうかと悩んだりしません。

日本語の「頭が固い」も同じで、話の流れの中で理解します。もし人の頭蓋骨のことを話しているのであれば、私たちの脳は非常に固い骨で守られているという「人の頭は固い」という意味になるかもしれません。

残念ながら、日本の学校の英語教育は、コミュニケーションではなく、文法や翻訳の学習にかなり偏っています。それはまるで、自転車に乗れるようになりたいのに、自転車の仕組みについて学んでいるようなものです。

この Weblio 質問箱でも、文脈や状況 (context) に触れること無しに、迷われている方が非常に多いです。一文だけ抜き出して「これはどういう意味ですか」と尋ねられても、必ずしも正しい回答は出来ません。どの言語でも、言葉は context の中で意味を持ちます。そのことを知っていれば、単語と熟語の区別は必ずつきます。