回答
1) Most of the essays in this collection were written after moving back to my home state of Texas in 2006.
この文で after 以下の部分は前置詞 after + 動名詞 moving 以下からなる句となっています。
2) Most of the essays in this collection were written after I moved back to my home state of Texas in 2006.
この文で after 以下の部分は接続詞 after + SV 以下からなる節になっています。
英文では、文が文として成り立つために必ず主語と動詞の組み合わせを要求します。その組み合わせに様々な文の他の要素(目的語や補語など)あるいは修飾語・句・節などをつけて文にいろいろな意味をもたせます。
より丁寧に事実をはっきりと叙述しようと思えば、修飾の部分についても語よりは句、句よりは節を使って省略を省きます。音声で伝えられる話し言葉などではあまり省略せず繰り返しなどもいとわず発言することが多いですが、反面で英文では特に書き言葉について繰り返しや言わなくてもわかる自明なことを省略して簡潔な文にすることが好まれる傾向にあり、意図が通る範囲で節よりは句、句よりは語を選び、コンサイスに表現することが求められます。
1) では after の後は自明な主語や時制などを省き、読者の注目を主文に置くよう前置詞 after + 動名詞 moving が採用されていますが、2) を書き言葉で使うと、ニュアンスとしては修飾部の詳細が目立ち、平凡であまり「シュッとしていない」言い方になります。どちらが良い、優れている、ということではなく、スタイルや詳細叙述のプライオリティの違いです。