目的格

I got a beautiful letter from the family with whom I stayed in Australia.

この関係代名詞 whom は目的格になっています。それはこの関係代名詞が with the family の the family のことだからです。

これを関係代名詞を使わずに言うと、
I got a beautiful letter from the family.
I stayed in Australia with them.
となります。
この with them の them を関係代名詞にしているので、目的格の whom になります。