私の夢は英語の先生です

My dream is to become an English teacher.　が正解です。
英語では、「私の夢は『英語の先生になること』です。」という言い方をします。「～になること」というフレーズをなくしてしまうと英語の先生になりたいのか、英語の先生と話したいのか、友達になりたいのか、分からなくなってしまうため、to become a を入れます。
同じように doctor など他の職業 でも My dream is to become a doctor. という言い方をします。