回答
こんにちは。
簡単なようで、奥が深い質問だと思います。
基本的な考えとして、
私は〜人です、と言う時、英語では、
〜人という集団の中のひとりです、という表現と、
自分は〜人という属性を持っている、という表現の２通りが可能です。
・I am American. 私はアメリカ人です。
→つまり自分はアメリカ人という属性*を持っている、と言っている。
*自分がアメリカ人だと認識するというアイデンティティを表して言っているのか、
アメリカ国籍を有している人間だと言っているのかは、文脈によって異なります。
・I am an American. 私はアメリカ人です。
→つまり自分はアメリカ人という集団の中のひとりだ、と言っている。
an American は、a がついているので、それは名詞です。しかも a がついている、ということは、名詞でも形がイメージできたり数えられたりするものです。
a がついていない方の American は、何かもの・人・ことなどの名詞を形容する形容詞です。アメリカ人という属性がある、アメリカっぽい、などの意味になります。
上の説明から、基本的には、どちらの言い方でも「私は〜だ。」と言えます。
...と言って終了かな、と思ったのですが、
a/an を取らない形容詞を使った表現は、どの国や民族についても言えるのですが、
I am a ~ . の言い方が一般的ではないものがあることに気付きました。
I am a ~ . の言い方が使われない集団（代用できる単数名詞がある）
❌ I am a British. (I am a Brit. は言えます。）
❌ I am a Scottish. (I am a Scot. は言えます。）
❌ I am a Polish. (I am a Pole. は言えます。）
❌ I am an Arabic. (I am an Arab. は言えます。）
❌ I am an Turkish. (I am a Turk. は言えます。）
❌ I am a Spanish. (I am an Spaniard. は言えます。）
❌ I am a Danish. (I am a Dane. は言えます。）*I'm a Danish. というと、私はデニッシュパンですみたいになる。
... 調べればもっとあると思います。
I am a ~ . の言い方が使われない集団（代用できる単数名詞がない）
❌ I am an English. (I am an English woman. などは言えます。）
❌ I am a French. (I am a French man. などは言えます。）
❌ I am an Irish. (I am an Irish person. などは言えます。）
❌ I am a Welsh. (I am a Welsh worker. などは言えます。）
❌ I am a Dutch. (I am a Dutch student. などは言えます。）
❌ I am an Iraqi. (I am an Iraqi doctor. などは言えます。）
❌ I am a Yemeni. (I am a Yemeni driver. などは言えます。）
... 調べればもっとあります。
もう一つややこしい事があります。それは、I am a ~ . と言える集団であっても、複数形が存在しない場合です。それは、集団を表す名詞が -ese で終わる時です。
❌ We are JapaneseS. (We are Japanese. と、形容詞の方を使うか、We are Japanese students などのように複数形の名詞を補うかが必要です。）
❌ We are ChineseS. (We are Chinese. と、形容詞を使うか、We are Chinese scholars などのように複数形の名詞を補うかが必要です。）
同じように集団のひとりであることを表す名詞でも、-an で終わる場合は、複数形にできます。
We are Koreans.
We are Americans.
We are Canadians.
We are Tunisians.
＝＝＝
ここで、日本で国籍＝〜人である、ということが当然と思われている状況が混乱を引き起こします。
というのも、世界の中では、ある地域や国をルーツとする人たち（民族）が他の国に移民をして、そこの国人として暮らす事が頻繁に起こっているからです。自分が〜人だ、という意識と、国籍（つまりある国の構成員としてその国に登録されているということ）が、ダブルの状態になります。
I am Japanese, but I am an American. という状況は世界では一般的で、国＝国籍＝民族＝なになに人が一致するということが当然とは限らないのです。
My neighbours are Italian, but they are Australians. (= My neighbours are Italian-Australians.)
His coworkers are all Jamaicans, but they are Brits. (= His co-workers are Jamaican-British.)
My best friend is Korean, and she is Japanese. (=My best friend is Korean-Japanese.)
このような時は、慣例として、人の属性を先に言って、国籍などを後につける事が多いです。
国の成り立ちからして移民がやってきてできたような国（アメリカ、カナダ、オーストラリアなど）は、アメリカ人、カナダ人、オーストラリア人といっても、どんな文化背景を持って、どんな母語を持って、という事が実に多様でバラバラだという事実があります。
きっと国籍や民族の属性などについての呼び方などをうまくまとめてくれている方がどこかで情報を出していらっしゃるか、テキストになっているかもしれないのですが、以上が自分がわかる範囲の知識です。