突然のご連絡大変失礼致します。は英語でどう言うの？

まず、日常的な英語のメールの冒頭に謝罪文を入れるのは一般的ではないため、「当然のご連絡大変失礼いたします」と同等の表現は存在しません。冒頭には名前と要件のみを書くのが一般です。
突然メールを送ることがNGまたは普通ではない状況で、強調して謝罪したい場合は以下のような表現ができるでしょう。

★We (I) sincerely apologize for contacting you so suddenly.
（このように突然ご連絡をしてしまい大変申し訳ございません）
もし会社を代表してのメールであれば「we｣を使い、個人的な謝罪であれば「I」の代名詞を使います。
「I am sorry for～」よりも硬い表現です。

★I am sorry for this abrupt e-mail.
（このような突然なメールを申し訳ありません）
「abrupt」は「突然」や「思いがけない」という意味の単語です。
メールの内容が今までとは違う突然なものであったり、急を要するものであるときには使えるでしょう。
「I am sorry for」を「I apologize for」にかえると、さらにフォーマルになります。