結構です、大丈夫です。は英語でどう言うの？

「no thanks」だと確かにきつく聞こえますが、「No thank you」に変えるだけでも相当軽減されます。
他にもやんわり断る表現を紹介いたします。

★Thank you but I’m fine/I’m alright.
（ありがとう、でも大丈夫です）
相手の提案や心遣いに対して感謝を述べてから、それが必要がないと優しく断る表現です。
会話で使われる、少しカジュアルな表現です。

【例】
We offer a complimentary bottle of wine if you’d like.—Thank you but I’m fine.
（もしよければ無料のワインを一本サービスしております。—ありがとうございます。ですが、大丈夫です）

★I’m good, thank you.
（結構です。ありがとうございます）
「I’m good」は「大丈夫です」「結構です」と相手の申し出などを断る意味の表現です。
「No thank you」とほとんど同じ意味ですが、こちらの方がインフォーマルです。

【例】
Would you like milk with your coffee? —I’m good, thank you.
（コーヒーにミルクをおつけしましょうか？ —結構です。ありがとう）