回答
先にご回答なさったお二人と同じ意見です。個人的な質問をしていいかどうかの判断は、相手が日本人の場合と変わらないと思います。親しみやすい人もいれば、気難しい人もいます。また、どういう質問なのかにもよります。趣味の話、家族の話、自慢話、出身地の話、旅行の話、食べ物の話、ペットの話などは、個人的な質問ですが、問題ないので、どんどん質問しましょう。
逆に親しくなったように思えても聞かない方がいいことは、年齢、病気、宗教、政治思想です。中でも、病気について、日本人はわりと抵抗なく話すような印象があります。やっぱり個人的なことですので、相手が自分から話さない限り、尋ねない方がいいでしょう。例えばアメリカの職場で、上司は部下の健康について、たとえ相手を思いやっていても、自由に質問できません。
また今の時期、Do you like Donald Trump? という質問はしないほうがいいでしょう。相手の答えに関わらず、気持ちの良い会話にならないので。
Cali girl さんの言うように、質問の内容や相手の性格にも依ると思います。相手が日本人の場合と大して変わりません。
しかし、純粋に「異文化交流として相手の文化が知りたい！」という意味でなら、*そのことをきちんと前置きしてから*尋ねてみてはいかがでしょうか？ただし、あなたも相手から「私も日本の文化が知りたい！」と”Why?”攻めにされることがあります（あなたの考えが意外と言えなかったりして、最初はつらいかも知れません）。
また、いくらプライベートな質問をOKしてもらったからと言って、いきなり最初から政治や宗教の話を切り出すのは、国によっては失礼にあたることがあります。何かのきっかけ（選挙のニュースや宗教に関する共通のトピックなど）がない限り、こちらからは切り出さない方が無難です。