関係代名詞whichの使い方

この文章の場合、
(They) were expected to stay there for several days.
ということで文が完結していて、その後に続くColombia's child protection agency will interview family members during (------) time. というところは、主文については必ずしも必要ではない（文の本意ではない）ことについて「ちなみに」的に付け加えられた文を、主文につなげて節としています。
つまり、この文では、several days はただ単に「数日間」ということを言っているだけで、その「数日間」に何か特定の事実が補足されている（それがなければ文の本意が伝わらない←文法的には「制限用法」と呼びます）というわけではありません。つまり、この関係代名詞は非制限用法として用いられています。

関係代名詞で that か which かを迷う際に、大きな区別として、関係代名詞の that は制限用法で使うもの（その節がないと文の本意が伝わらない）、which はどちらでも使えるがどちらかというと非制限用法（その節がなくても文の本意が伝わる）と理解しておくとわかりやすいと思います。

この文では、Colombia's child protection agency 云々の節は文の本意である「数日間」ということについてなくてもよい（「ちなみに程度の付け加え）の意味であるので、which を使うのが適当です。

制限用法を理解するために、この文で関係代名詞 that を使うとすれば、several days に何らかの限定的な条件をつけると that を要求することになります。
(They) were expected to stay there for several days that were specifically designated by the authority.
この例の場合、ただ「数日間」と言っているだけではなく、「当局によって特定された数日間」という制限が加わっていることから、関係代名詞は that を使います。which を使えなくはないですが、which には非制限のニュアンスがあるので、which にすると「当局によって特定された」という部分は「ちなみに」程度なのかな、という誤解が生じますので、which の使用を避ける人がほとんどだと思います。

ちなみに、この文全体を以下のように２つの文に分けるのであれば、指示代名詞としての that を使うことができます。
The siblings... were expected to stay there for several days. During that time Colombia’s child protection agency will...